设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2．（1）求证：log2(1+b+ca)+log2(1+a−cb)＝1（2）若log4(1+b+ca)＝1，log8(a+b−c)＝23，求a、b、c的值．
问题描述：
设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2．
（1）求证：log2(1+
)+log2(1+b+c a
)＝1a−c b
（2）若log4(1+
)＝1，log8(a+b−c)＝b+c a
，求a、b、c的值． 2 3
答
证明：（1）左边=log2
+log2a+b+c a
＝log2(a+b−c b
•a+b+c a
)a+b−c b
=log2
＝log2
(a+b)2−c2
ab
＝log2
a2+2ab+b2−c2
ab
＝log22＝1；2ab+c2−c2
ab
（2）由log4(1+
)＝1得1+b+c a
＝4，∴-3a+b+c=0①b+c a
由log8(a+b−c)＝
得a+b−c＝82 3
＝4②2 3
由①+②得b-a=2③
由①得c=3a-b，代入a2+b2=c2得2a（4a-3b）=0，∵a＞0，
∴4a-3b=0④
由③、④解得a=6，b=8，从而c=10．
答案解析：（1）利用对数的性质化简等式的左边，真数按照多项式的乘法展开，利用a2+b2=c2即可．
（2）log4(1+
)＝1，log8(a+b−c)＝b+c a
，分别去掉对数符号，解方程组求出a、b、c的值．2 3
考试点：对数的运算性质．
知识点：本题考查对数的运算性质，是基础题．