已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若a,b是关于x的一元二次方程x2-(c+4)x+4c+8=0的二根,且9c=25a•sinA.(1)求证:△ABC是直角三角形.(2)求△ABC的三边长.

问题描述:

已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若a,b是关于x的一元二次方程x2-(c+4)x+4c+8=0的二根,且9c=25a•sinA.

(1)求证:△ABC是直角三角形.
(2)求△ABC的三边长.

(1)证明:
∵a、b是关于x的一元二次方程x2-(c+4)x+4c+8=0的二根
∴a+b=c+4,ab=4c+8,
∴a2+b2=(c+4)2-2(4c+8)=c2
∴△ABC是直角三角形;
(2)在Rt△ABC中sinA=

a
c

∵9c=25a•sinA,
∴25a2=9c2
∴a=
3
5
c,
由勾股定理得:b=
4
5
c,
把a=
3
5
c,b=
4
5
c代入a+b=c+4得,
7
5
c=c+4,
解得:c=10,
∴a=6.b=8.
答案解析:(1)根据根与系数的关系可知:a+b=c+4,ab=4c+8,因为a2+b2=(c+4)2-2(4c+8)=c2问题得证;
(2)在直角三角形ABC中sinA=
a
c
,又因为9c=25a•sinA,a=
3
5
c,由勾股定理得:b=
4
5
c,把a=
3
5
c,b=
4
5
c代入a+b=c+4得,可求出的值,进而求出a和b的值.
考试点:勾股定理;根的判别式;勾股定理的逆定理;解直角三角形.
知识点:本题考查了根与系数的关系以及勾股定理和逆定理的运用,题目设计比较新颖.