已知a+b+c=1,a,b,c均为正数,证明:c^2/a + a^2/b + b^2/c >=1 ?
问题描述：
已知a+b+c=1,a,b,c均为正数,证明:c^2/a + a^2/b + b^2/c >=1 ?
答
∵a,b,c均为正数
∴a²/b>0,b²/c>0,c²/a>0
由均值不等式知
(a²/b)+b ≥ 2√[(a²/b)*b]=2a
(b²/c)+c ≥ 2√[(b²/c)*c]=2b
(c²/a)+a ≥ 2√[(c²/a)*a]=2c
以上三式相加,得
(a²/b+b²/c+c²/a)+(a+b+c) ≥ 2(a+b+c)
∴a²/b+b²/c+c²/a ≥ a+b+c
又a+b+c=1
∴a²/b+b²/c+c²/a ≥ 1