如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P,与y轴的交点为Q.过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A,与这个二次函数的图象交于另一点B,若S△BPQ=3S△APQ,求这个二次函数的解析式.

问题描述:

如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P,与y轴的交点为Q.过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A,与这个二次函数的图象交于另一点B,若S△BPQ=3S△APQ,求这个二次函数的解析式.

∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点P,
∴点P的坐标为(-

b
2
,0),根据图形可得b<0,
即可得到b2-4ac=0,
∵a=1,
∴b2-4c=0,
解得c=
b2
4

∵二次函数与y轴的交点为Q
∴点Q的坐标为(0,c),
∵Q在y=2x+m上,
∴m=c
∴一次函数解析式为y=2x+c
y=2x+c
y=x2+bx+c

∴B(2-b,4-2b+
b2
4

∵S△BPQ=3S△AQP
∴S△ABP=4S△AQP
∴点B的纵坐标与Q的纵坐标的比为4:1,
那么4-2b+
b2
4
=b2
解得b=-4或b=
4
3
(舍去).
当b=-4时,c=4,
∴二次函数为y=x2-4x+4.