设k为正整数,证明: (1)如果k是两个连续正整数的乘积,那么25k+6也是两个连续正整数的乘积; (2)如果25k+6是两个连续正整数的乘积,那么k也是两个连续正整数的乘积.
问题描述:
设k为正整数,证明:
(1)如果k是两个连续正整数的乘积,那么25k+6也是两个连续正整数的乘积;
(2)如果25k+6是两个连续正整数的乘积,那么k也是两个连续正整数的乘积.
答
证明:(1)设两个连续正整数可表示为x,x+1,那么k=x(x+1),
25k+6,
=25x(x+1)+6,
=25x2+25x+6,
=(5x+2)(5x+3),
∴也是两个连续数的乘积,
∴如果k是两个连续正整数的乘积,那么25k+6也是两个连续正整数的乘积;
(2)设25k+6=m(m+1),m为正整数,
则100k+25=4m(m+1)+1=4m2+4m+1=(2m+1)2=52×(4k+1),
∴2m+1是5的倍数,且2m+1/5是奇数,
∴设
=2x+1(x为正整数),2m+1 5
则4k+1=(
)2=(2x+1)2,2m+1 5
∴4k+1=4x2+4x+1,
∴4k=4x2+4x,
∴k=x(x+1),
∴k是连续两个正整数的积.