F为抛物线y2=4x的焦点,直线l与其交于A.B两点,与x轴交于P点,且以AB为直径的圆过原点O,则OF·FP
问题描述：
F为抛物线y2=4x的焦点,直线l与其交于A.B两点,与x轴交于P点,且以AB为直径的圆过原点O,则OF·FP
是向量OF和向量FP的数量积
答
设P(p,0),(p≠0)l:x=ty+p
x=ty+p代入y²=4x
得：y²=4(ty+p)
即y²-4ty-4p=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
根据韦达定理：
y1+y2=4t,y1y2=-4p
∵以AB为直径的圆过原点O
∴∠AOB=90º
∴向量OA●OB=0
即x1x2+y1y2=0
∴x1x2-4p=0
x1x2=4p
又y²1=4x1,y²2=4x2
∴16x1x2=(y1y1)²
∴64p=16p²
∵p≠0,∴p=4
即P(4,0）
又F(1,0)
∴OF·FP
=（1,0）●（3,0）
=3