答
易知:A(0,6),C(8,0),AB=8,OA=BC=6;
则点A正好位于直线y=2x+6上;
(1)当点D位于直线y=2x+6上时,分三种情况:
①点P为直角顶点,结合图形,显然此时点D位于第三象限,不合题意;
②点D为直角顶点,那么∠DAP=45°,结合图形2可知:∠DAB>45°,
而点P位于线段BC上,故不存在这样的等腰直角三角形;
③点A为直角顶点,如图;
过D作DE⊥y轴于E,则△ADE≌△APB,得:AE=AB=8;
即点D的纵坐标为:14,代入y=2x+6中,可求得
点D(4,14);
(2)当点D位于直线y=2x-6上时,分三种情况:
①点A为直角顶点,结合图形可知,此种情况显然不合题意;
②点D为直角顶点,分两种情况:
1、点D在矩形AOCB的内部时,过D作x轴的平行线EF,交直线OA于E,交直线BC于F,设D(x,2x-6);
则OE=2x-6,AE=6-(2x-6)=12-2x,DF=EF-DE=8-x;
则△ADE≌△DPF,得DF=AE,即:
12-2x=8-x,x=4;
∴D(4,2);
2、点D在矩形AOCB的外部时,设D(x,2x-6);
则OE=2x-6,AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12,DF=EF-DE=8-x;
同1可知:△ADE≌△DPF⇒AE=DF,即:
2x-12=8-x,x=;
∴D(,);
③点P为直角顶点,显然此时点D位于矩形AOCB的外部;
设点D(x,2x-6),则CF=2x-6,BF=2x-6-6=2x-12;
易证得△APB≌△PDF,得:
AB=PF=8,PB=DF=x-8;
故BF=PF-PB=8-(x-8)=16-x;
联立两个表示BF的式子可得:
2x-12=16-x,即x=;
∴D(,);
综合上面六种情况可得:存在符合条件的等腰直角三角形;
且D点的坐标为:(4,2),(4,14),(,),(,).
答案解析:此题应考虑两种情况:
①点D在直线y=2x+6上,然后再分三种情况进行讨论:
1、D为直角顶点,2、A为直角顶点,3、P为直角顶点;
②点D在直线y=2x-6上,同上,也需分三种情况讨论;
在求解过程中,要结合全等三角形的判定和性质进行求解.
考试点:坐标与图形性质;一次函数综合题;全等三角形的判定与性质.
知识点:此题考查了点的坐标、矩形的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形以及全等三角形等相关知识的综合应用,需要考虑的情况较多,难度较大.