已知抛物线y2=2px（p＞0）与直线y=-x+1相交于A、B两点，以弦长AB为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程．
问题描述：
已知抛物线y2=2px（p＞0）与直线y=-x+1相交于A、B两点，以弦长AB为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程．
答
知识点：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，难度大，容易出错，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
y=-x+1，
x=1-y，
则：y2=2p（1-y），
y2+2py-2p=0，
y1+y2=-2p，y1y2=-2p，
x1x2=（1-y1）（1-y2）=1-（y1+y2）+y1y2=1+2p-2p=1．
∵以弦AB为直径的圆恰好过原点，
∴OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0
∵x1x2+y1y2=1-2p=0
∴p=
．1 2
∴抛物线的方程为：y2=x．
答案解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线y=-x+1代入抛物线y2=2px（p＞0），得y2+2py-2p=0，所以y1+y2=-2p，y1y2=-2p，x1x2=（1-y1）（1-y2）=1-（y1+y2）+y1y2=1+2p-2p=1．因为以弦AB为直径的圆恰好过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=1-2p=0，由此能求出抛物线的方程．
考试点：圆与圆锥曲线的综合．
知识点：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，难度大，容易出错，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．