证明：x|f(x)的k次方当且仅当x|f(x),其中k为正整数
问题描述：
证明：x|f(x)的k次方当且仅当x|f(x),其中k为正整数
答
x | f(x)^k当且仅当0是多项式f(x)^k的根,
当且仅当f(0)^k = 0,
当且仅当f(0) = 0,
当且仅当0是f(x)的根,
当且仅当x | f(x).具体是哪一步不懂?符号^k表示k次方.证明主要用的是下面这个结论:一个多项式P(x)被x整除, 当且仅当0是P(x)的根, 即成立P(0) = 0.必要性: 若P(x)被x整除, 存在Q(x)使P(x) = x·Q(x), 代入x = 0即得P(0) = 0.充分性: 若P(0) = 0, 可知P(x)常数项为0, P(x)可提出因子x, 即x整除P(x).用这个结论, x | f(x)^k当且仅当f(0)^k = 0.但一个数的k次方为0当且仅当其本身为0.于是f(0)^k = 0当且仅当f(0) = 0.再由上述结论得f(0) = 0当且仅当x | f(x).