求向量子空间的定义,举例

设 K 是域(比如实数域),并设 V 是在 K 上的向量空间.如同平常,我们称 V 的元素为向量并称 K 的元素为标量.假设 W 是 V 的子集.如果 W 自身是带有同 V 一样的向量空间运算的向量空间,则它是 V 的子空间.
要使用这个定义,我们必须证明所有向量空间的性质对 W 都成立.作为替代,我们可以证明一个定理,它提供给我们证实一个向量空间的子集是子空间的更容易的方式.
定理:设 V 是在域 K 上的向量空间,并设 W 是 V 的子集.则 W 是个子空间,当且仅当它满足下列三个条件:
零向量 0 在 W 中.
如果 u 和 v 是 W 的元素,则向量和 u + v 是 W 的元素.
如果 u 是 W 的元素而 c 是来自 K 的标量,则标量积 cu 是 W 的元素.
向量子空间是向量空间在向量加法下的子群.
例子 :设域 K 是实数的集合 R,并设向量空间 V 是欧几里得空间 R3.取 W 为最后的分量是 0 的 V 中所有向量的集合.则 W 是 V 的子空间.
证明:
给定 W 中 u 和 v,它们可以表达为 u = (u1,u2,0) 和 v = (v1,v2,0).则 u + v = (u1+v1,u2+v2,0+0) = (u1+v1,u2+v2,0).因此 u + v 也是 W 的元素.
给定 W 中 u 和 R 中标量 c,如果 u = (u1,u2,0),则 cu = (cu1,cu2,c0) = (cu1,cu2,0).因此 cu 也 是 W 的元素.