如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BE平分∠ABC,且BE⊥CD于E,P是BE上一动点.若BC=6,CE=2DE,则|PC-PA|的最大值是______.

问题描述:

如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BE平分∠ABC,且BE⊥CD于E,P是BE上一动点.若BC=6,CE=2DE,则|PC-PA|的最大值是______.

延长BA交CD的延长线于F,
∵BE平分∠ABC,
∴∠FBE=∠CBE,
∵BE⊥CD,
∴∠BEF=∠BEC=90°,
∵在△FBE和△CBE中

∠BEF=∠BEC
BE=BE
∠FBE=∠CBE

∴△FBE≌△CBE(ASA),
∴BF=BC=6,EF=EC,
∵BE⊥CF,
∴PC=PF(线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等),
即|PC-PA|=|PF-PA|,
根据两点之间线段最短得:|PF-PA|≤AF,
即当|PC-PA|的最大值是AF,
∴当P和B重合时,|PC-PA|=|BC-BA|=AF,
∵EF=CE,CE=2DE,
∴DF=DE=
1
2
CE=
1
4
CF,
∵AD∥BC,
∴△AFD∽△BFC,
AF
BF
=
FD
CF
=
1
4

∴AF=
1
4
BC=
1
4
×6=
3
2

即|PC-PA|的最大值是
3
2

故答案为:
3
2

答案解析:延长BA交CD的延长线于F,求出BF=BC,EF=CE,求出DF=DE=
1
4
CF,求出PF=PC,根据两点之间线段最短得出|PC-PA|的最大值是PA,得出P和B重合时,得出最大值是AF的长,根据相似求出AF的值即可.
考试点:梯形;三角形三边关系;等腰三角形的判定与性质.
知识点:本题考查了全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,线段垂直平分线定理等知识点的应用,关键是找出最大值是指哪一条线段的长,题目具有一定的代表性,但是有一定的难度.