如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BE平分∠ABC,且BE⊥CD于E,P是BE上一动点.若BC=6,CE=2DE,则|PC-PA|的最大值是______.
问题描述:
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BE平分∠ABC,且BE⊥CD于E,P是BE上一动点.若BC=6,CE=2DE,则|PC-PA|的最大值是______.
答
延长BA交CD的延长线于F,
∵BE平分∠ABC,
∴∠FBE=∠CBE,
∵BE⊥CD,
∴∠BEF=∠BEC=90°,
∵在△FBE和△CBE中
,
∠BEF=∠BEC BE=BE ∠FBE=∠CBE
∴△FBE≌△CBE(ASA),
∴BF=BC=6,EF=EC,
∵BE⊥CF,
∴PC=PF(线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等),
即|PC-PA|=|PF-PA|,
根据两点之间线段最短得:|PF-PA|≤AF,
即当|PC-PA|的最大值是AF,
∴当P和B重合时,|PC-PA|=|BC-BA|=AF,
∵EF=CE,CE=2DE,
∴DF=DE=
CE=1 2
CF,1 4
∵AD∥BC,
∴△AFD∽△BFC,
∴
=AF BF
=FD CF
,1 4
∴AF=
BC=1 4
×6=1 4
,3 2
即|PC-PA|的最大值是
,3 2
故答案为:
.3 2
答案解析:延长BA交CD的延长线于F,求出BF=BC,EF=CE,求出DF=DE=
CF,求出PF=PC,根据两点之间线段最短得出|PC-PA|的最大值是PA,得出P和B重合时,得出最大值是AF的长,根据相似求出AF的值即可.1 4
考试点:梯形;三角形三边关系;等腰三角形的判定与性质.
知识点:本题考查了全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,线段垂直平分线定理等知识点的应用,关键是找出最大值是指哪一条线段的长,题目具有一定的代表性,但是有一定的难度.