梯形题1997年祖冲之杯初中数学邀请赛试题

选A
为了叙述方便,我标上字母,梯形ABCD中,AB‖CD,对角线AC,BD交于点O
S△AOB=S1,S△AOD=S4,S△BOC=S2,S△DOC=S3
∵AB‖CD
∴∠BAC=∠ACD
在△BAO与△DCO中
∠AOB=∠COD
∠BAO=∠DCO
∴△BAO∽△DCO（有两个内角相等的三角形是相似三角形）
∴AB：CD=AO：OC=BO：DO（相似三角形对应边成比例）
设CD：AB=OC：AO =DO：BO =a
∵AB≠CD
∴a≠1
∴S△DOC=a²•S△AOB（相似三角形面积比是对应边比例的平方）
即S3=a²•S1
∵△AOB与△BOC同高
∴S△BOC=a•S△AOB（同高的三角形面积比等于底边比）
即 S2=a•S1
同理 S4= a•S1
∴S1•S3=S1•a²S1=a²S1²
S2•S4= a•S1 •a•S1=a²S1²
故S1•S3= S2•S4
C,D错
∴S1+S3=S1+a²S1=(a²+1)S1
S2+S4= a•S1+a•S1=2a•S1
(S1+S3)-( S2+S4)
=(a²+1)S1-2a•S1
=S1(a²-2a+1)
=S1(a-1)²
∵a≠1,S1＞0
∴S1(a-1)²＞0
即(S1+S3)-( S2+S4)＞0
S1+S3＞S2+S4
选A