设全集U=R．（1）解关于x的不等式|x-1|+a-1＞0（a∈R）；（2）记A为（1）中不等式的解集，集合B={x|sin(πx−π3)+3cos(πx−π3)＝0}，若（CUA）∩B恰有3个元素，求a的取值范围．
问题描述：
设全集U=R．
（1）解关于x的不等式|x-1|+a-1＞0（a∈R）；
（2）记A为（1）中不等式的解集，集合B={x|sin(πx−
)+π 3
cos(πx−
3
)＝0}，若（CUA）∩B恰有3个元素，求a的取值范围． π 3
答
知识点：本题考查绝对值不等式的解法，两角和的正弦公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．
（1）由|x-1|+a-1＞0 得|x-1|＞1-a．
当a＞1时，解集是R；
当a≤1时，解集是{x|x＜a，或 x＞2-a}；（4分）
（2）当a＞1时，CUA=∅，不满足条件．当a≤1时，CUA={x|a≤x≤2-a}．（6分）
因sin(πx−
)+π 3
cos(πx−
3
)=2[sin(πx−π 3
)cosπ 3
+cos(πx−π 3
)sinπ 3
]＝2sinπx．π 3
由sinπx=0，得πx=kπ（k∈Z），即x=k∈Z，所以B=Z．（10分）
当（CUA）∩B恰有3个元素时，
a就满足
，
a＜1 2≤2−a＜3 −1＜a≤0.
解得-1＜a≤0．（14分）
答案解析：（1）不等式即|x-1|＞1-a，a＞1时，解集是R，a≤1时，解集是{x|x＜a，或 x＞2-a}．
（2）当a≤1时，CUA={x|a≤x≤2-a}，利用两角和的正弦公式得到sinπx=0，B=Z，当（CUA）∩B恰有3个元素时，
满足
成立，解出a的范围．
a＜1 2≤2−a＜3 −1＜a≤0.
考试点：绝对值不等式；交、并、补集的混合运算；两角和与差的正弦函数．
知识点：本题考查绝对值不等式的解法，两角和的正弦公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．