椭圆x24+y2＝1的内接矩形的面积的最大值为______．
问题描述：
椭圆
+y2＝1的内接矩形的面积的最大值为______． x2 4
答
由题意的方程可知：矩形的对角线的斜率存在．
设椭圆内接矩形一条对角线的方程为y=kx，不妨设k＞0．
联立
，
y＝kx
+y2＝1x2 4
化为（1+4k2）x2=4，取第一象限的顶点A（x，y），
解得x＝
，∴y＝2
1+4k2
．2k
1+4k2
∴内接矩形的面积S=2x•2y=4xy=4×
=4k 1+4k2
≤16
+4k1 k
=4．当且仅当k=16 2
•4k1 k
上取等号．1 2
故椭圆
+y2＝1的内接矩形的面积的最大值为4．x2 4
故答案为：4．
答案解析：由题意的方程可知：矩形的对角线的斜率存在．设椭圆内接矩形一条对角线的方程为y=kx，不妨设k＞0．
与椭圆的方程联立距离解得第一象限的顶点A（x，y），再利用内接矩形的面积S=2x•2y=4xy，及基本不等式即可得出．
考试点：椭圆的简单性质．
知识点：本题考查了椭圆的对称性、内接矩形的面积的最大值问题、基本不等式的性质，属于难题．