幂级数展开习题求解
幂级数展开习题求解
已知f(x)是[a,b]上的函数,其各阶导函数存在且大于等于0,求证
f(x) = Sigma(0,+INF,f(a) * (x - a) & n / )对任意x属于[a,b]成立
Sigma()是求和函数,第三个参数是求和的内容.其中f(a)是f的n阶导数在a点的值
这道题我想估计f(a)的范围,但是没有思路……求大神指点,好的回答会加分啊
注：但最好能提供一个解题的思路,我更看重的是思考问题的方法!
注意到f(x)=f(a)+∫[a,x]f'(t)dt
=f(a)+∫[a,x]f'(t)d(t-x),利用分部积分
=f(a)+(x-a)f'(a)+∫[a,x](x-t)f''(t)dt,如此反复利用分部积分
可得f(x)= Sigma(0,n, f(a) * (x - a)^n / n! )+(∫[a,x]f(t)*(x-t)^ndt)/n!
然后考虑对积分余项R(n,x)=(∫[a,x]f(t)*(x-t)^ndt)/n! 作估计
作变换t=(a-x)s+x,可得
即R(n,x)=(∫[0,1]f((a-x)s+x)*(x-a)^(n+1)*s^nds)/n!
=>R(n,x)/(x-a)^(n+1)=(∫[0,1]f((a-x)s+x)*s^nds)/n!
因为f(x)各阶导数都非负,而(a-x)s+x≤(a-b)s+b,x∈[a,b],s∈[0,1]
所以R(n,x)/(x-a)^(n+1)≤R(n,b)/(b-a)^(n+1)
即R(n,x)≤[(x-a)/(b-a)]^n*R(n,b)
而R(n,b)=f(b)- Sigma(0,n, f(a) * (b - a)^n / n! )≤f(b)
所以R(n,x)≤[(x-a)/(b-a)]^n*f(b),即对任意x∈[a,b),均有
R(n,x)->0,n->∞,即f(x)=Sigma(0,+INF,f(a)*(x-a)^n/n!)对任意x属于[a,b)成立
最后说明x=b时上式也成立.设上式右边幂级数的收敛半径为r>0,
则显然b-a小于等于r,若b-ab-,则显然和f(x)在[a,b]连续矛盾.
综上知f(x)=Sigma(0,+INF,f(a)*(x-a)^n/n!)对任意x属于[a,b]成立