若x+2y+3z＝1，则x2+y2+z2的最小值为______．
问题描述：
若x+2y+
z＝1，则x2+y2+z2的最小值为______．
3
答
根据柯西不等式可得[(12+22+(
)2]（x2+y2+z2）≥(x+2y+
3
z)2
3
∵x+2y+
z＝1
3
∴x2+y2+z2≥
1 8
当且仅当x＝
＝y 2
时，x2+y2+z2的最小值为z
3
1 8
故答案为：
1 8
答案解析：根据柯西不等式可得[(12+22+(
)2]（x2+y2+z2）≥(x+2y+
3
z)2，由此可得结论．
3
考试点：柯西不等式在函数极值中的应用．
知识点：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．一般而言，“积和结构”或“平方和结构”越明显，则构造越容易，而对于“积和结构”或“平方和结构”不够明显的问题，则须将原问题作适当变形，使“积和结构”或“平方和结构”明显化，从而利用柯西不等式进行证明．