嘉兴市2007----2008学年第二学期期末检测 (24 18:0:15)已知数列{an}中,a2=3,Sn是{an}的前n项和,且Sn是nan与n的等差中项.（1）求a1,a3（2）猜想一个an的表达式,并用数学归纳法证明你的猜想.

Sn是nan与n的等差中项.
2Sn=nan+n
2a1=a1+1
a1=1
2S3=3a3+3
2(1+3+a3)=3a3+3
a3=5
猜想一个an的表达式an=2n-1.
证明:当n=1时,由上得成立.
设当n=k时成立,即2Sk=kak+k,ak=2k-1
那么当n=k+1时.
2S(k+1)=(k+1)a(k+1)+(k+1)
2Sk+2a(k+1)=(k+1)a(k+1)+k+1
k(2k-1)+k=(k-1)a(k+1)+k+1
2k^2-k-1=(k-1)a(k+1)
(k-1)a(k+1)=(2k+1)(k-1)
即a(k+1)=2k+1=2(k+1)-1
即当n=k+1时,成立.
得证!

2sn=nan+n
2s2=2*3+2=8
s2=4
s2=a1+a2
4=a1+3
a1=1
2s3=3*a3+3
2(s2+a3)=3a3+3
2(4+a3)=3a3+3
8+2a3=3a3+3
a3=5
an=2n-1
用数学归纳法证明
n=1,成立
若n=k时,Sk=(1/4)(ak+1)^2,ak=2k-1
Sk=(1/4)*(2k-1+1)^2=k^2,
则n=k+1时
S(k+1)=a(k+1)+Sk=(1/4)[(a(k+1)+1]^2
4a(k+1)+4k^2=[a(k+1)+1]^2
[a(k+1)]^2+2a(k+1)+1-4a(k+1)-4k^2=0
[a(k+1)]^2-2a(k+1)+1-4k^2=0
[a(k+1)-(1+2k)][a(k+1)-(1-2k)]=0
所以a(k+1)=1+2k,a(k+1)=1-2k
因为an是正数数列
所以a(k+1)=2k+1=2(k+1)-1
得证
an=2n-1