设x，y∈R，i、j，为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y-2）j，且|a|+|b|=8．（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点．设OP=OA+OB，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
问题描述：
设x，y∈R，
| i |
| j |
| a |
| i |
| j |
| b |
| i |
| j |
| a |
| b |
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点．设
| OP |
| OA |
| OB |
答
（1）∵a=xi+（y+2）j，b=xi+（y-2）j∴|a|=x2+(y+2)2，|b|=x2+(y−2)2设F1（0，-2），F2（0，2），动点M（x，y），可得|a|、|b|分别表示点M到F1、F2的距离．∵|a|+|b|=8，即M到F1、F2的距离之和等于8，∴点M（x，y...
答案解析：（1）根据向量模的公式以及坐标系内两点间的距离公式，可得动点M（x，y）到定点F1（0，-2）、F2（0，2）的距离之和等于8（常数），由此结合椭圆的定义得到M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，可得轨迹C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为y=kx+3，将l方程与椭圆C消去y得关于x的方程，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及直线l方程得x1+x2=
且y1+y2=−18k 4+3k2
．再根据平行四边形OAPB为菱形，得到|24 4+3k2
|=|
OA
|，利用向量模的公式化简结合前面的等式可得关于k的方程，解之得k=0．由此可得存在直线y=3使得四边形OAPB为菱形．
OB
考试点：轨迹方程；直线的一般式方程；直线与圆锥曲线的关系．
知识点：本题给出向量关系式，求动点M的轨迹方程并讨论菱形OAPB的存在性．着重考查了向量的坐标运算、椭圆的定义与标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．