实数abc,满足a≤b≤c.且ab+bc+ca=0,abc=1.求最大的实数k,使式不等式/a+b/≥k/c/恒成立

ab+bc+ca=0，abc=1
1/c+1/a+1/b=0 c=-ab/(a+b)
a≤bk≤[-(a+b)]/c=[(a+b)^2]/ab恒成立
(a+b)^2≥2ab [(a+b)^2]/ab≥2ab/ab=2
k≤2恒成立
kmax=2

分析：通过实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab+bc+ca=0,abc=1,利用c表示a+b和ab,并且确定它们的符号．然后写出以a、b为根的一元二次方程,则有△≥0,得到c的范围,再变形|a+b|,有|a+b|=-（a+b）=1 /c2 ≥4c=4|c|,最后确定k的范围,找到k的最大值．
不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a,b,c恒成立．由已知条件知,a,b,c都不等于0,且c＞0．
因为abc=1,有ab=1/c＞0；
又因为ab+bc+ca=0,
所以a+b=-1/c2＜0,
所以a≤b＜0．
由一元二次方程根与系数的关系知,a,b是一元二次方程x2+1/c2x+1/c=0的两个实数根,
于是△=1/c4-4/c≥0,
所以c^3≤1/4．
因此|a+b|=-（a+b）=1c/2≥4c=4|c|,不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a,b,c恒成立,
所以k≤4,最大的实数k为4．