已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，−2)．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[π12，π2]，求f（x）的值域．
问题描述：
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜
）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π 2
，且图象上一个最低点为M(π 2
，−2)．2π 3
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[
，π 12
]，求f（x）的值域． π 2
答
（1）由最低点为M(2π3，−2)得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得T2=π2，即T=π，ω＝2πT＝2ππ＝2由点M(2π3，−2)在图象上的2sin(2×2π3+φ)＝−2，即sin(4π3+φ)＝−1故4π3+φ＝2kπ−π2，k∈Z...
答案解析：（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．
（2）根据x的范围进而可确定当2x+
的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．π 6
考试点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．
知识点：本题主要考查本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式的问题及正弦函数的单调性问题．属基础题．