已知点P(2,2),椭圆x2/4+y2/3的右焦点为F,Q是椭圆上任意一点,则当向量PF*FQ取最大值时,则点Q的坐标?
问题描述：
已知点P(2,2),椭圆x2/4+y2/3的右焦点为F,Q是椭圆上任意一点,则当向量PF*FQ取最大值时,则点Q的坐标?
答
设点Q（x，y）
点F（1,0）
PF=（-1，-2），FQ=（x-1，y）
PF*FQ=1-x-2y
（x²/4+y²/3)(4+6)≥（x+2y）²【柯西不等式】
点Q在椭圆上，所以
x²/4+y²/3=1
于是10≥（x+2y）²，即-√10≤x+2y≤√10
于是1-x-2y≤1+√10
答
因为 Q 在椭圆上,所设 Q 坐标为（2cosa,√3sina）,
由于 F（1,0）,
所以 PF*FQ=（-1,-2）*（2cosa-1,√3sina）=1-2cosa-2√3sina=1-4sin(a+π/6) ,
可以看出,当 sin(a+π/6)= -1 时,PF*FQ 最大,
此时 a=3π/2-π/6=4π/3 ,
所以 2cosa= -1 ,√3sina= -3/2 ,
即 Q 坐标为（-1,-3/2）.