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几何中的三角恒等式求证在直角三角形中tan(A/2)tan(B/2)+tan(A/2)tan(C/2)+tan(B/2)tan(C/2)=1

分类: 作业答案 • 2022-06-25 09:06:41
问题描述：

几何中的三角恒等式
求证在直角三角形中
tan(A/2)tan(B/2)+tan(A/2)tan(C/2)+tan(B/2)tan(C/2)=1

答

因为这里ABC可以互换
所以不妨设A是直角
tan(A/2)tan(B/2)+tan(A/2)tan(C/2)+tan(B/2)tan(C/2)
=tan(B/2)+tan(C/2)+tan(B/2)tan(C/2)
tan(B/2+C/2)=tan[(180°-A)/2]=tan45°=1
tan(B/2+C/2)=[tan(B/2)+tan(C/2)]/[1-tan(B/2)*tan(C/2)]
=> tan(B/2)+tan(C/2)=1-tan(B/2)*tan(C/2)
=> tan(A/2)tan(B/2)+tan(A/2)tan(C/2)+tan(B/2)tan(C/2)
=tan(B/2)+tan(C/2)+tan(B/2)tan(C/2)=1

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