已知一元二次方程ax方+bx方+c=0有两个实数根.且两根的立方和为S1,两跟的平方和为S2,两根之和为S3,求证:aS1+bS2+cS3=0

因为方程有两个实数根，设为x1,x2
（1）a不等于0
（2）√（b^2-4ac）大于等于0
（3）x1+x2=-b/a
（4）x2*x2=c/a
S1=X1^3+X2^3
=(X1+X2)(X1^2-X1X2+X2^2)
=(X1+X2)[(X1+X2)^2-3X1*X2]
=(-b/a)[(-b/a)^2-3*(c/a)]
=-b^3/a^3+3bc/a^2
S2=X1^2+X2^2
=(X1+X2)^2-2*X1X2
=b^2/a^2-2c/a
S3=X1+X2=-b/a
aS1+bS2+cS3=a(-b^3/a^3+3bc/a^2)+b(b^2/a^2-2c/a)+c(-b/a)
=(-b^3/a^2)+(3bc/a)+(b^3/a^2)-(2bc/a)-(bc/a)
=0
得证

(X1+X2)3方=S1+3X1*X2*X2+3X1*X1*X2
(X1+X2)2方=S2+2X1X2
S1=(X1+X2)3方-(3X1*X2*X2+3X1*X1*X2)=(X1+X2)3方-3X1*X2(X1+X2) 一
S2=(X1+X2)2方-2X1X2 二
X1+X2=-b/a 三
X1*X2=c/a 四
将"三","四"带入"一","二"
得到用a,b,c表示S1,S2的等式后,将此等式带入aS1+bS2+cS3
化简得
aS1+bS2+cS3=0