有串自然数,已知第一个数与第二个数互质,而且第一个数的56恰好是第二个数的14,从第三个数开始,每个数字正好是前两个数的和,问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几?

问题描述:

有串自然数,已知第一个数与第二个数互质,而且第一个数的

5
6
恰好是第二个数的
1
4
,从第三个数开始,每个数字正好是前两个数的和,问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几?

根据题干分析可得这串数字为:
3,10,13,23,36,59,95,154,249,403,652,1055…
这串数字被3除所得的余数依次为:
0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,
所以可以看出这串数字除以3的余数按“0,1,1,2,0,2,2,1”循环,周期为8.
因为1991÷8=248…7,所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数,即2.
答:这串数的第1991个数被3除所得的余数是2.
答案解析:(1)因为第一个数×

5
6
=第二个数×
1
4
,所以第一个数:第二个数=
1
4
5
6
=3:10.又两数互质,所以第一个数为3,第二个数为10,从而这串数为:
3,10,13,23,36,59,95,154,249,403,652,1055…
(2)要求这串数的第1991个数被3除所得的余数是几,可以先推理出得出这串数字除以3的余数的规律是什么;由此即可解决问题.
考试点:周期性问题.
知识点:解答此题应注意以下两个问题:(1)由于两个数互质,所以这两个数只能是最简整数比的两个数;
(2)求出这串数被3除所得的余数后,找出余数变化的周期,但这并不是这串数的周期.一般来说,一些有规律的数串,被某一个整数逐个去除,所得的余数也具有周期性.