初中数学难题系列7(不定方程整数根）
初中数学难题系列7(不定方程整数根）
1.求下列方程的整数解
（1）2x^2-5xy+2y^2+x-2y-6=0
（2）x^4-y^4-20x^2+28y^2=107
2.求证：方程5m^2-6mn+7n^2=1993无整数解
3.设有红黄蓝三种颜色的玻璃片,分别有x,y,z块,且x,y,z被3除的余数分别为0,1,2,若进行如下的一次操作,把两块颜色不同的玻璃片的颜色擦去,再涂上第三种颜色,问是否可以通过有限次操作,使得每块玻璃片都涂上同一种颜色?请证明你的结论.
以上题目都能解决的高手请看看我的初中数学难题系列6
若都能解决 将追加一定分数
第一题：
(1) 2x^2-5xy+2y^2+x-2y-6=0 => (x-2y)(2x-y+1)=6
因为x、y都是整数,所以x-2y、2x-y+1也是整数.而6的整数乘积分解只能是(-6)×(-1)、(-1)×(-6)、(-3)×(-2)、(-2)×(-3)、1×6、6×1、2×3、3×2这8种可能
联立解方程,舍去非整数解,得如下4组x=-1,y=1；x=-2,y=0；x=3,y=1；x=-2,y=-4
(2) x^4-y^4-20x^2+28y^2=107 => (x^2+y^2-24)(x^2-y^2+4)=11
因为x、y都是整数,所以x^2+y^2-24、x^2-y^2+4也是整数.而11的整数乘积分解只能是(-11)×(-1)、(-1)×(-11)、1×11,11×1这4种可能
联立解方程,舍去非整数解,得如下8组x=-2,y=-3；x=-2,y=3；x=2,y=-3；x=2,y=3；x=-4,y=-3；x=-4,y=3；x=4,y=-3；x=4,y=3
第二题：
先使用余数分析的方法确定m可能的取值
1) 首先m不能是偶数.因为如果m是偶数,那么(5m^2) mod 4=0（mod 4表示除以4的余数）,(-6mn) mod 4=0,1993 mod 4=1,于是(7n^2) mod 4=1,这样n是奇数,而如果n是奇数,(7n^2) mod 4=3,矛盾
2) 其次m必然能整除3.假设m不能整除3,那么m=3x+1或者m=3x+2,无论是那种情况,都有(5m^2) mod 3=2,(-6mn) mod 3=0,1993 mod 3=1,于是(7n^2) mod 3=2,这样n不能整除3,无论是n=3y+1还是n=3y+2,(7n^2) mod 3=1,矛盾
3) 根据1)和2)的结论,可知m=6x+3
其次枚举证明没有整数解
4) 将5m^2-6mn+7n^2=1993看作n的二次方程,解得n=[3m+√(13951-26m^2)]/7或者n=[3m-√(13951-26m^2)]/7.由于13951-26m^2>=0可知|m| -> -> ,至此循环,不存在有两个余数同时为0的情况,而每块玻璃片都涂上同一种颜色就意味着有两个余数为0,所以这是不可能的