微分法在几何上的应用,高数题,求证曲面√x+√y+√z=√a(a>0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.
问题描述：
微分法在几何上的应用,高数题,
求证曲面√x+√y+√z=√a(a>0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.
答
令F(x,y,z)=√x+√y+√z-√a
设曲面的任意点P为（x0,y0,z0)
则P点处的切平面的法向量为（F'x,F'y,F'z)|（x0,y0,z0)=1/2*(1/√x0,1/√y0,1/√z0)
则过点P的切平面方程为1/√x0*(x-x0)+1/√y0*(y-y0)+1/√z0*(z-z0)=0
当x=0,y=0时,解得z=√z0*（√x0+√y0+√z0）=√a*√z0
同理x轴y轴上的截距分别为√a*√x0和√a*√y0
三个截距加起来为√a*√x0+√a*√y0+√a*√z0=√a*（√x0+√y0+√z0）=a
解毕