已知直线y=-2x-2/3与曲线f(x)=1/3x3-bx相切． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）若方程f（x）=x2+m在（0，+∞）上有两个解x1，x2，求m的取值范围．
问题描述：
已知直线y=-2x-
与曲线f(x)=2 3
x3-bx相切．1 3
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=x2+m在（0，+∞）上有两个解x1，x2，求m的取值范围．
答
（I）∵f(x)=
x3-bx，∴f'（x）=x2-b，1 3
设切点为（x0，y0），依题意得∴
1 3
-bx0=y0
x
30
y0=-2x0-
2 3
-b=-2
x
20
解得：b=3
（II）设h(x)=f(x)-x2-m=
x3-x2-3x-m1 3
h′（x）=x2-2x-3=（x+1）（x-3），
令h′（x）=0，得x=-1或x=3
在（0，3）上，h′（x）＜0，故h（x）在（0，3）上单调递减，
在（3，+∞）上，h′（x）＞0，故h（x）在（3，+∞）上是单调递增，
若使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，
则需
∴-9＜m＜0．
h(0)=-m＞0 h(3)=-9-m＜0
此时存在x＞3时，h（x）＞0，
例如x=5时，h=
-25=15-m=125 3
-m＞0.5 3
∴所求m的范围是-9＜m＜0．