试证明关于X的方程 [n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)] =[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1] 在区间（0,2）上有唯一实数根；记此根为X(n),求X(n)的最大值小弟我是重点中学尖子班的学生，也不会做此题……这说明什么？有哪位数学王子想要证明自己的实力？来小试一番，这可是个难得的机会呀。（二楼的，实根存在 我原本就证出来了，关键 是它的最值不好求。所以抱歉，分不能给你）

去问一下拉格朗日 莱布尼兹 或是牛顿吧 他们应该是会的

费脑子，分太少

试试：
转化为二次函数，求二次函数的跟，然后对根进行讨论。

先化简，为了好写一点，设[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1]=an，1+X=y，化去(1+X)^(n-1)则有
[n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)]=（n+y）/[(n+1)y+y^2]=an，整理得any^2+[an(n+1)-1]y-n=0，求导有y‘=2any+an(n+1)-1=(2y+n+1)an-1，因为y为（1,3）1/3=3+n+1-3-n>0,即有F(1)0且单调递增，故在（1,3）有且仅有一个实数根使得F(y)=0.即在区间（0,2）上有唯一实数根；至于第二问太难算了，你自己先算算吧

整理上式得 f(x)=(n+1+x)/((1+x)(n+2+x))-[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1]
求导 f(x)‘=0 仅看分子
（1+x）(n+2+x)-(n+1+x)(n+2+x+1+x)=0
x^2+2(n+1)x+n^2+3n+1=0
求得x