在数列An中,a1=1,a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n,求通项公式.我想请问用数学归纳法怎么做,因为带几个数...在数列An中,a1=1,a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n,求通项公式.我想请问用数学归纳法怎么做,因为带几个数进去很容易看出是个等差数列,在线等!
问题描述：
在数列An中,a1=1,a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n,求通项公式.我想请问用数学归纳法怎么做,因为带几个数...
在数列An中,a1=1,a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n,求通项公式.我想请问用数学归纳法怎么做,因为带几个数进去很容易看出是个等差数列,在线等!
答
数学归纳法比较麻烦，算前几项的方法有时候很难归纳，往往归纳出的通项公式是错误的。例如本题就不是等差数列，如果仅仅根据前几项归纳出等差数列，后面算不出来的。有简单的方法。提供一种简单方法：
a(n+1)=(1+1/n)an +(n+1)/2^n=[(n+1)/n]an +(n+1)/2^n
等式两边同除以n+1
a(n+1)/(n+1)=an/n +1/2^n
a(n+1)/(n+1)+1/2^n=an/n +2/2^n=an/n+1/2^(n-1)
a1/1 +1/2^(1-1)=1+1=2
数列{a(n+1)/(n+1) +1/2^n}是各项均为2的常数数列。
an/n +1/2^(n-1) =2
an=2n -n/2^(n-1)
n=1时，a1=2-1/2^0=2-1=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2n -n/2^(n-1)。
答
不是吧.a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n可以化为a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n可以知道数列an/n为公差为1/2的等差数列 首项为1 然后你知道的.我忘了等差数列的公式了.