如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,若∠C=90°,AD=4,BD=6,求图中阴影部分的面积.

问题描述:

如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,若∠C=90°,AD=4,BD=6,求图中阴影部分的面积.

连接OE,OF,
∵⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,AD=4,BD=6
∴AE=4,BF=6,
设圆的半径=R,
∵△ABC是直角三角形,又∵⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,
∴EC=CF=R,
∴AC=4+R,BC=6+R,
根据勾股定理得(R+4)2+(R+6)2=100,
解得R=2或-12,负值舍去.
∵阴影部分的面积=正方形OECF的面积-扇形的面积,
∴阴影面积=2×2-

90π×4
360
=4-π.
答案解析:先利用切线的性质,由AD=4,BD=6,可知AE=4,BF=6,再根据勾股定理求出圆的半径,然后利用扇形的面积公式计算,阴影部分的面积=正方形的面积-扇形的面积.
考试点:三角形的内切圆与内心;扇形面积的计算.
知识点:本题的关键是求出圆的半径,然后理解阴影部分的面积=正方形的面积-扇形的面积.利用扇形和正方形的面积公式计算.