已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=45，则C的离心率e=___．
问题描述：
已知椭圆C：
+x2 a2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=y2 b2
，则C的离心率e=___．4 5
答
设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6
∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=
，4 5
∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|×|BF|cos∠ABF，
可得62=102+|BF|2-2×10×|BF|×
，解之得|BF|=84 5
由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7
∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2
∴∠AFB=90°，可得|OF|=
|AB|=5，即c=51 2
因此，椭圆C的离心率e=
=c a
5 7
故答案为：
5 7
答案解析：设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=
|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．1 2
考试点：椭圆的简单性质
知识点：本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．