求方程x^2yy''=(y-xy')^2的通解
问题描述：
求方程x^2yy''=(y-xy')^2的通解
答
令x=e^t,t=lnx,
dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(dy/dt)/x
d²y/dx²=d[(dy/dt)/x]/dx=(d²y/dt²-dy/dt)/x²
代入方程得y(d²y/dt²-dy/dt)=(y-dy/dt)²,变成了y关于t的微分方程
y(y''-y')=(y-y')²
(y''-y')/(y'-y)=y'/y-1
[ln|y'-y|]'=[ln|y|-t]'
ln|y'-y|=ln|y|-t+C
y'-y=C1ye^(-t)
y'=y(1+C1e^(-t))
1/ydy=(1+C1e^(-t))dt
ln|y|=t-C1e^(-t)+C2
ln|y|=lnx-C1/lnx+C2
y=C3xe^(-C1/lnx)