1.微分方程xy'-y-√y^2-x^2=0的通解为?2.设y=arctan(e^x)-ln√(e^2x)/(e^2x+1),求y'|x=1时的值.
问题描述：
1.微分方程xy'-y-√y^2-x^2=0的通解为?2.设y=arctan(e^x)-ln√(e^2x)/(e^2x+1),求y'|x=1时的值.
答
(1)由xy'-y-√y^2-x^2=0
得：d(y/x)/√((y/x)^2-1)=dx
故，通解为ln((y/x)+√((y/x)^2-1))+c
(2)y=arctan(e^x)-(1/2)(2x-ln(e^2x+1))
y'=(1/(1+e^2x))e^x-(1/2)(2-((1/(e^2x+1))e^2x)2)
(y'|x=1)=0
答
xy'-y-√(y^2-x^2)=0
(xy'-y)/x^2=√(y^2-x^2)/x^2
d(y/x)=√[(y/x)^2-1]dx/x
secu=y/x
dsecu/tanu=dln|x|
secudu=dln|x|
dln|secu+tanu|=dln|x|
secu+tanu=Cx
通解y/x+√((y/x)^2-1)=Cx
2
y'=e^x/(1+e^2x) -2e^2x/(1+e^2x)^2 *(1/2√(e^2x/(e^2x+1)))*(1/√(e^2x/(1+e^2x)))
=e^x/(1+e^2x)-e^2x/(1+e^2x) *1/(e^2x/(1+e^2x))
=e^x/(1+e^2x)-1