如图,已知菱形ADEF和等腰三角形ABC,AB=AC,∠BAC=54°,点B、C分别在DE、EF.(B、C分别不与E、F重合)(1)如图1,当AE平分∠BAC时,①求证:BD=CF;②当AD=AB时,求∠ABD的度数;(2)如图2,当AE不平分∠BAC时,若△ADB是一个等腰三角形,求∠ABD的度数.

问题描述:

如图,已知菱形ADEF和等腰三角形ABC,AB=AC,∠BAC=54°,点B、C分别在DE、EF.(B、C分别不与E、F重合)

(1)如图1,当AE平分∠BAC时,
①求证:BD=CF;
②当AD=AB时,求∠ABD的度数;
(2)如图2,当AE不平分∠BAC时,若△ADB是一个等腰三角形,求∠ABD的度数.

(1)①证明:∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE,
又∵AB=AC,AE=AE,
∴△ABE≌△ACE,(2分)
∴BE=CE,
∵四边形ADEF是菱形,
∴DE=EF,
∴DB=CF,(5分)
②当AD=AB时,设∠D=x°,得∠FAC=∠DAB=(180-2x)°,(6分)
由AF∥DE得∴x+2(180-2x)+54=180,
解得x=78∴∠ABD=78°;(9分)

(2)过点A作AM⊥DE于点M,AN⊥EF于点N,由AE平分∠DEF得AM=AN,
又∵AB=AC,
∴Rt△AMB≌Rt△ANC,
∴∠MAB=∠NAC,
∴∠MAN=∠BAC,
又∵∠MAN+∠MEN=180°,∠D+∠MEN=180°,
∴∠D=∠MAN=∠BAC=54°,(11分)
若△ADB是一个等腰三角形,下面分三种情况讨论:
Ⅰ.当BD=BA时,得∠D=∠DAB=54°
解得∠ABD=72°,(12分)
Ⅱ.当AD=AB时,得∠ABD=∠D=54°,
由∠BAC=54°得AC∥DE,
∴AC与AF重合,这与AC与AF不重合矛盾,
∴此种情况不存在.
Ⅲ.因为DA不可能等于DB,所以第三种情况不存在.
综上所述:当△ADB是一个等腰三角形时,∠ABD的度数等于72°.(13分)
答案解析:(1)由AE平分∠BAC,AB=AC,AE=AE,易证△ABE≌△ACE,则BE=CE,又四边形ADEF是菱形,可得DE=EF,即可得证;
(2)过点A作AM⊥DE于点M,AN⊥EF于点N,由AE平分∠DEF得AM=AN,可证Rt△AMB≌Rt△ANC(HL),则∠MAB=∠NAC,∠MAN=∠BAC;根据等角的补角相等可得,∠D=∠MAN=∠BAC=54°,最后要分三种情况讨论求解:Ⅰ.当BD=BA时;Ⅱ.当AD=AB时;Ⅲ.因为DA不可能等于DB,所以第三种情况不存在.
考试点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.


知识点:本题主要考查菱形的性质,同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质,注意题目中的“△ADB是一个等腰三角形”,哪两条边是腰,应该分情况讨论.