如图所示,一根长2a的木棍（AB）,斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上,设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?简述理由,
问题描述：
如图所示,一根长2a的木棍（AB）,斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上,设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.
在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?简述理由,
答
△AOB的面积 s=½*OA*OB 令OB=x OA=y
△AOB的面积 s=½*OA*OB=½xy s²=(½xy)²=x²y²/4 (1)
x²+y²=(2a)²=4a² 代入 (1)
s²=x²y²/4=x²(4a²-x²)/4 方程两边同时求导
2s´=2a²-x² 令 s´=0 此时△AOB的面积有极值
2a²-x²=0 x²=2a² y²=4a²-2a²= 2a²
x=y=√2a s=½xy=½*√2a*√2a=a²
当OA=OB=√2a 时，△AOB的面积 S=a²最大
答
（1）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变；
（2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB为证明：如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP，
故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大，
此时，S△AOB=12AB•h=
12×2a•a=a2．
所以△AOB的最大面积为a2．等腰直角三角形时，面积最大，理由为：
答
△AOB的面积 s=½*OA*OB 令OB=x OA=y△AOB的面积 s=½*OA*OB=½xy s²=(½xy)²=x²y²/4 (1) x²+y²=(2a)²=4a² 代入 (1) s²=x²y²/4=x&...