已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一个极值点．求：（I）实数a的值； （Ⅱ）函数f（x）的单调区间．
问题描述：
已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一个极值点．求：
（I）实数a的值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．
答
（Ⅰ）因为f′（x）=
+2x-10a x+1
所以f′（3）=
+6-10=0a 4
因此a=16
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x2-10x，x∈（-1，+∞）
∴f′（x）=
2(x2−4x+3) x+1
当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0
所以f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞）；f（x）的单调减区间是（1，3）
答案解析：（Ⅰ）先求导f′（x），再由x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一个极值点即f′（3）=0建立方程，解之即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）确定函数f（x）的解析式，再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得单调区间．
考试点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题主要考查利用求导研究函数的单调性，解题的关键是弄清函数在某点取得极值的条件，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．