设A(x1,y1).B(x2,y2)在抛物线y=2x^2上,l是线段AB的垂直平分线,当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明结论
问题描述：
设A(x1,y1).B(x2,y2)在抛物线y=2x^2上,l是线段AB的垂直平分线,当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明结论
答
y1=2x1^2
y2=2x2^2
两式相减得
y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2)
(y1-y2)/(x1-x2)=2(x1+x2)
(y1-y2)/(x1-x2)是ab的斜率
而直线l与ab垂直
斜率为-1/2（x1+x2）
x1+x2是ab中点横坐标的2倍
设中点为（x3,y3）
所以y3-0/(x3-(1/2))=-1/4(x3)
而y3=2(x3)^2
x3就可解了
x1+x2也就知道了
答
AB的中垂线上任意一点到A、B的距离都相等,所以如果直线L过焦点F,那么FA＝FB,根据抛物线定义,FA＝A到准线距离,FB＝B到准线距离,所以
A到准线距离＝B到准线距离
那么显然直线AB与准线平行,所以AB中点就在y轴上,所以x1+x2＝0
瞧见没,就是那么简单,都不用列式计算