要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯,路灯的灯臂长为3m,且与灯柱成120°(如图所示),路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线与灯臂垂直.当灯罩的轴线通过公路路面的中线时,照明效果最理想.问:应设计多高的灯柱,才能取得最理想的照明效果(精确到0.01m,3≈1.732).

问题描述:

要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯,路灯的灯臂长为3m,且与灯柱成120°(如图所示),路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线与灯臂垂直.当灯罩的轴线通过公路路面的中线时,照明效果最理想.问:应设计多高的灯柱,才能取得最理想的照明效果(精确到0.01m,

3
≈1.732).

如图,延长BA,CD交于点P.
∵∠BAD=∠C=90°,∠P=30°,BC=14m,AD=3m,
∴在直角△APD中,AP=AD•cot30°=3

3
m,PD=AD÷(sin30°)=6m,
∵∠P=∠P,∠BAD=∠C=90°,
∴△PAD∽△PCB,
AP
PC
=
AD
BC

∴PC=
AP•BC
AD
=14
3
m,
∴CD=PC-PD=14
3
-6≈18.25m.
所以应设计18.25m高的灯柱,才能取得最理想的照明效果.
答案解析:出现有直角的四边形时,应构造相应的直角三角形,利用相似求得PD、PC,再相减即可求得CD长.
考试点:相似三角形的应用;解直角三角形.

知识点:本题通过构造相似三角形,综合考查了相似三角形的性质,直角三角形的性质,锐角三角函数的概念.