平面几何中,有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a,类比上述命题,棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A. 43aB. 63aC. 54aD. 64a
问题描述:
平面几何中,有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值
a,类比上述命题,棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )
3
2
A.
a
4
3
B.
a
6
3
C.
a
5
4
D.
a
6
4
答
类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值
a,
3
2
在一个正四面体中,计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和,
如图:
由棱长为a可以得到BF=
a,BO=AO=
3
2
a-OE,
6
3
在直角三角形中,根据勾股定理可以得到
BO2=BE2+OE2,
把数据代入得到OE=
a,
6
12
∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×
a=
6
12
a,
6
3
故选B.
答案解析:由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时,常用的思路有:由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质,由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质,由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质.固我们可以根据已知中平面几何中,关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”,推断出一个空间几何中一个关于面的性质.
考试点:类比推理.
知识点:本题是基础题,考查类比推理及正四面体的体积的计算,转化思想的应用,考查空间想象能力,计算能力.