平面几何中,有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a,类比上述命题,棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(  ) A.43a B.63a C.54a D.64a

问题描述:

平面几何中,有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值

3
2
a,类比上述命题,棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(  )
A.
4
3
a

B.
6
3
a

C.
5
4
a

D.
6
4
a

类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值

3
2
a,
在一个正四面体中,计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和,
如图:
由棱长为a可以得到BF=
3
2
a
,BO=AO=
6
3
a-OE,
在直角三角形中,根据勾股定理可以得到
BO2=BE2+OE2
把数据代入得到OE=
6
12
a,
∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×
6
12
a=
6
3
a,
故选B.