已知O为坐标原点,i,j分别为与x轴,y轴的非负半轴方向相同的单位向量,向量OA=2向量i+2向量j,向量OB=4向量i+向量j,在x轴上有一点P,使向量AP乘以向量BP取得最小值,求P点的坐标及此时∠APB的余弦值
问题描述：
已知O为坐标原点,i,j分别为与x轴,y轴的非负半轴方向相同的单位向量,向量OA=2向量i+2向量j,
向量OB=4向量i+向量j,在x轴上有一点P,使向量AP乘以向量BP取得最小值,求P点的坐标及此时∠APB的余弦值
答
设P（x,0）因为A（2，2），B（4，1），
AP*BP=（x-2,-2)*(x-4,-1)=x^2-6x+8+2=(x-3)^2+1当x=3时有最小值1,此时P（3，0），余弦值用余弦定理可以算出来。
答
OA=2i+2jOB=4i+jP(x,0)AP = OP-OA= (x-2)i -2jBP= OP-OB = (x-4)i-jAP.BP = (x-2)(x-4) + 2(AP.BP)' = 2x-6 =0x= 3(AP.BP)''= 2 >0 (min)min AP.BP = (3-2)(3-4) + 2 = -1+2 = 1