已知x、y、z是整数,且xy+yz+xz=0,a、b、c是不等于1的正数,且满足a^x=b^y=c^z求证：abc=1

a^x=b^y=c^z
因为 a,b,c>0，且不等于1 ，所以，同时取对数，有：
xlga=ylgb=zlgc
令上式的值是k,
即xlga=ylgb=zlgc=k
这样，因为x,y,z不等于0，所以，有
lga=k/x
lgb=k/y
lgc=k/z
三式相加有：
lga+lgb+lgc=k(1/x+1/y+1/z)=k/xyz*(yz+xz+xy)=0
即lg(abc)=0
所以 abc=1

证明:
设 a^x=b^y=c^z = k 那么 x = log a k y = log b k z = log c k
依题意 有：(log a k)*(log b k) + (log b k)*(log c k) + (log a k)*(log c k) = 0
根据LOG曲线函数易知道，当x值一定时 log a, log b, log c函数值定为同正或同负，因此，当且仅当
log a k = log b k = log c k =0时，上述等式成立，故有k = 1， 因此可得 abc = 1的开x*y*z次方 = 1

设：a^x=b^y=c^z=t,a=x次根号(t)=t的x分之1次方,b=y次根号下(t)=t的y分之1次方,c=z次根号下(t)=t的z分之1次方,则：abc=t的[(1/x)＋(1/y)＋(1/z)]次方=t的[(xy＋yz＋zx)/(xyz)]次方=t的0次方=1
或者：
设a^x=b^y=c^z=t,则：
a^(xyz)=t^(yz)
b^(xyz)=t^(zx)
c^(xyz)=t^(xy)
三个式子相乘,得：
(abc)^(xyz)=t^(yz＋zx＋xy)=z^0=1
则：abc=1

由xy+yz+xz=0 a^x=b^y=c^z 得
(abc)^(xyz)=a^(xyz)*b^(xyz)*c^(xyz)=(a^x)^yz*(a^x)^xz*(a^x)^xy=(a^x)^(xy+yz+xz)=(a^x)^0=1
即(abc)^(xyz)=1 则 xyz=0 或 abc=1