[求助]对于一致连续性的证明我有些不理解的地方

[求助]对于一致连续性的证明我有些不理解的地方
1楼
康托定理说在闭区间上的连续函数,一致连续.但我觉得证明的时候没有用到闭区间的性质：
也就是说把闭区间偷换成开区间,新的假定理一样被证明了
（下面是书中原来的证明）
菲赫金哥尔茨的微积分学教程（第一卷,edtion 8）：
p147 康托定理：若函数f(x)是在闭区间[a,b]内定义着而且连续,则它在这区间内也是一致连续的.
证明 ：我们用反证法来证明,设对于某一确定的数ε>0,在一致连续性的定义内所论及的的那种数δ>0并不存在,在这种情形,不论取怎样的数δ>0,在区间[a,b]内必可求出这样的两个数值X’0及X’,虽然
|X’ － X’0| = ε
今取{δn},且 δn -> 0
对于每一个δn可在[a,b]内求出数值 X0n及 Xn(它们担任着X’0及X’的角色),虽然（对n=1,2,……）
依布尔XXXXX引理（就是有界数列恒能选出有限极限的部分数列）,由有界序列{Xn}内可以取出部分序列,收敛于区间[a,b]内的某一点X0,为着不使记法繁复,现就算序列{Xn}本身已收敛于X0
因为Xn－X0n－>0(因为｜Xn－X0n｜0),所以序列{X0n}也同时收敛于X0.
由于函数在点X0处的连续性,应该有
f(Xn) -> f(X0) 及 f(X0n)->f(X0)
于是
f(Xn) － f(X0n) -> 0,
但这违反了在一切数值n时
|f(X’) － f(X’0) | >= ε
的事实.
定理证明完毕
上面的证明中没有使用好像没有使用闭区间的相关性质：
假康托定理：若函数f(x)是在开区间（a,b）内定义着而且连续,则它在这区间内也是一致连续的.
假定理被证明了?（这条假定理当然是错的,但我不知道我错在什么地方）请大家指教