证明当|x|很小时,下列近似式成立：即（当x→0时误差是x的高阶无穷小） e^x≈1+x因为我是自学高数(一),所以有些地方还不是理解很懂,对于这道题不知道怎么下手,请拟出解题思路.
问题描述：
证明当|x|很小时,下列近似式成立：即（当x→0时误差是x的高阶无穷小） e^x≈1+x
因为我是自学高数(一),所以有些地方还不是理解很懂,对于这道题不知道怎么下手,请拟出解题思路.
答
参考泰勒级数展开式
e^x = 1 + x + 1/2! * x^2 +.. + 1/n!*x^n + ...
当x近似于0，x平方或更高项可舍去。
答
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……
e^x与1+x的误差为x^2/2!+x^3/3!+……
显然，当x→0时误差是x的高阶无穷小
答
书上应该讲了重要的基本极限（1+x）^(1/x)=e(当x→0）或x→无穷,（1+1/x)^x=e
那么用左边除以右边,若当x→0,极限为1,则说明左边和右边在x→0时是等价无穷小,命题即得证.左右两边同乘方（1/X）,相除,得e/[(1+x)^(1/x)]=e/e=1,所以原式成立.
答
证明他们为同阶无穷小就可以