如图，已知△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在AB边上移动，动点F在AC边上移动． （1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形？若能，求BE的长；若不能，请
问题描述：
如图，已知△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在AB边上移动，动点F在AC边上移动．
（1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形？若能，求BE的长；若不能，请说明理由；
（2）当∠EOF=45°时，设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围．
答
（1）点E，F移动的过程中，△OEF能成为∠EOF=45°的等腰三角形，
①当OE=EF时，∠OEF是直角，F，A重合，OE是三角形ABC的中位线，E是AB中点，此时BE=1；
②当OF=EF时，∠OFE是直角，与①同理，E，A重合，F是AC中点，此时BE=2；
③当OE=OF时，如果连接OA，那么OA必然平分∠BAC，
∴BO=CO，∠B=∠C=45°，EO=FO，
由∠EOF=45°，由对称性得到∠AOE=∠AOF=22.5°，
∴∠EOB=∠FOC=67.5°，
又∵BO=CO，∠B=∠C=45°，
∴△BEO≌△CFO（ASA），
又∵∠BEO=∠BOE=∠COF=∠CFO=67.5°，
∴BE=BO=CO=CF=
BC，1 2
∵AB=AC=2，
∴BC=2
，由此可得出BE=CF=
2
；
2
（2）在△OEB和△FOC中，
∵∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135°，
∴∠FOC=∠OEB，
又∵∠B=∠C，
∴△OEB∽△FOC，
∴
=BE CO
，BO CF
∵BE=x，CF=y，OB=OC=
1 2
=
22+22
，
2
∴
=x
2
，
2
y
则y=
（1≤x≤2）．2 x