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已知函数y=f（x），对任意的x∈（-π2，π2）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　） A.3f(−π3)＜f(−π6) B.f(−π6)＞32f(0) C.f(

分类: 作业答案 • 2022-06-02 14:30:54
问题描述：

已知函数y=f（x），对任意的x∈（-

π
2
，
π
2
）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　）
A.
3
f(−
π
3
)＜f(−
π
6
)
B. f(−
π
6
)＞
3
2
f(0)
C. f(
π
4
)＞
2
f(
π
3
)
D. f(0)＞
2
f(
π
4
)

答

构造函数g（x）=

f(x)
cosx
，
则g′（x）=
f′(x)cosx−f(x)(cosx)′
cos2x
=
1
cos2x
（f′（x）cosx+f（x）sinx），
∵对任意的x∈（-
π
2
，
π
2
）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（-
π
2
，
π
2
）单调递增，
则g（-
π
3
）＜g（-
π
6
），即
f(−
π
3
)
cos(−
π
3
)
＜
f(−
π
6
)
cos(−
π
6
)
，∴
3
f（-
π
3
）＜f（-
π
6
），
故A正确，故选：A．

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