已知函数f（x）=logax+b/x−b（a＞0，a≠1，b＞0）． （1）求f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性； （3）讨论f（x）的单调性，并证明．
问题描述：
已知函数f（x）=loga
（a＞0，a≠1，b＞0）．x+b x−b
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性，并证明．
答
（1）因为
＞0，解之得x＜-b或x＞b，x+b x−b
∴函数的定义域为（-∞，-b）∪（b，+∞）．…（3分）
（2）由（1）得f（x）的定义域是关于原点对称的区间
f（-x）=loga
=loga−x+b −x−b
，x−b x+b
∵-f（x）=loga（
）-1=logax+b x−b
，x−b x+b
∴f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．…（6分）
（3）证明：设b＜x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=loga
，(x1+b)(x2−b) (x2+b)(x1−b)
∵
-1=(x1+b)(x2−b) (x2+b)(x1−b)
＞02b(x2−x1) (x2+b)(x1−b)
∴当a＞1时，f（x1）-f（x2）＞0，可得f（x1）＞f（x2），f（x）在（b，+∞）上为减函数；
当0＜a＜1时，f（x1）-f（x2）＜0，可得f（x1）＜f（x2），f（x）在（b，+∞）上为增函数．
同理可得：当a＞1时，f（x）在（-∞，-b）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-b）上为增函数．
综上所述，当a＞1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为增函数．…（12分）