已知f（x）是三次函数，g（x）是一次函数，且f（x）-1/2g（x）=-x3+2x2+3x+7，f（x）在x=1处有极值2，求f（x）的解析式和单调区间．
问题描述：
已知f（x）是三次函数，g（x）是一次函数，且f（x）-
g（x）=-x3+2x2+3x+7，f（x）在x=1处有极值2，求f（x）的解析式和单调区间． 1 2
答
由于f（x）是三次函数，g（x）是一次函数，且f（x）-
g（x）=-x3+2x2+3x+7，1 2
则可设f（x）=-x3+2x2+cx+d，
故有 f′（x）=-3x2+4x+c，
由题意知f′（1）=0，则-3+4+c=0，∴c=-1
又f（1）=2，∴d=2
∴f（x）=-x3+2x2-x+2
则 f′（x）=-3x2+4x-1，
由f′（x）＞0得到
＜x＜1；1 3
由f′（x）＜0得到x∈（-∞，
）∪（1，+∞） 1 3
∴函数f（x）的单调递增区间为（
，1），单调递减区间为（-∞，1 3
）及（1，+∞）．1 3