如图所示,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.请你以F为一个端点,和图中已知标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可).(1)连接______;(2)猜想:______=______;(3)证明.
问题描述:
如图所示,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.请你以F为一个端点,和图中已知标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可).
(1)连接______;
(2)猜想:______=______;
(3)证明.
答
知识点:平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.
解法一:(如图)
(1)连接BF.
(2)猜想:BF=DE.
(3)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠DAE=∠BCF.
在△BCF和△DAE中,
,
CB=AD ∠BCF=∠DAE CF=AE
∴△BCF≌△DAE,
∴BF=DE.
解法二:(如图)
(1)连接BF.
(2)猜想:BF=DE.
(3)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=OC,DO=OB.
∵AE=FC,
∴AO-AE=OC-FC.
∴OE=OF.
∴四边形EBFD为平行四边形.
∴BF=DE.
解法三:(如图)
(1)连接DF.
(2)猜想:DF=BE.
(3)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴CD∥AB,CD=AB.
∴∠DCF=∠BAE.
在△CDF和△ABE中,
,
CD=AB ∠DCF=∠BAE CF=AE
∴△CDF≌△ABE.
∴DF=BE.
答案解析:(1)已知条件是AE=CF,那么应构造AE和CF所在的三角形,所以连接BF.
(2)在两个三角形中,已知其他两条边对应相等,那么所求的一定是第三条边对应相等.
(3)利用平行四边形的对边平行且相等,加上已知条件利用SAS可证得这两条边所在的三角形全等,进而求得相应的线段相等.
考试点:平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
知识点:平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.