已知集合M={x|f（x）-x=0，x∈R}与集合N={x|f[f（x）]-x=0，x∈R}，其中f（x）是一个二次项系数系数为1的二次函数． （1）判断M与N的关系； （2）若M是单元素集合，求证：M=N．
问题描述：
已知集合M={x|f（x）-x=0，x∈R}与集合N={x|f[f（x）]-x=0，x∈R}，其中f（x）是一个二次项系数系数为1的二次函数．
（1）判断M与N的关系；
（2）若M是单元素集合，求证：M=N．
答
（1）对于任意的x∈M，则f（x）=x，∴f[f（x）]-x=f（x）-x=0；
即任意的x∈M，都有x∈N，∴M⊆N；
若设0∈N，设f（x）=x2+bx+c，f（0）=c，f[f（0）]=f（c）=c（c+b+1），可以让c+b+1=0，而c≠0；
即f[f（0）]=0，而f（0）≠0，∴0∉M；
∴M⊊N；
（2）证明：设x1∈M，x1∈N，x2∈N，f（x2）=t；
则：f[f（x2）]-x2=0，即f（t）-x2=0，f（t）=x2；
∵M是单元素集合，所以x1是方程：f（x）-x=x2+（b-1）x+c=0的唯一实根；
令g（x）=x2+（b-1）x+c，则该函数值域为[0，+∞），只有x=x1时，g（x）=0；
则由f（x2）=t得，x22+bx2+c=t，∴x22+(b-1)x2+c=t-x2＞0，即t＞x2；
由f（t）=x2得，t2+bt+c=x2，∴t2+（b-1）t+c=x2-t≥0，即x2≥t；
∴t＞x2和x2≥t不可能，即x2∉N，即M，N都只有一个元素x1；
∴M=N．